triângulo de pascal

Suponha que se deseja calcular o produto do tipo (a + b).(a + b)  ou ( a + b )².

É claro que um aluno do oitavo ano saberá identificar, imediatamente, que se trata de um produto notável, mais conhecido como “o quadrado da soma de dois termos” e que a regra prática para o seu desenvolvimento é:

“o quadrado do primeiro termo, mais o dobro do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”

isto é:

a² + 2.a.b + b²

Além disso, esse mesmo aluno consegue, facilmente, demonstrar através da propriedade distributiva a veracidade de tal regra:

( a + b ).( a +b ) = a.a + a.b + b.a + b.b = a² + 2.a.b + b²

Mas, talvez, não imagine que esse produto notável tão famoso pudesse ser obtido através do triângulo aritmético conhecido como o “Triângulo de Pascal”:

Observando os números da terceira linha do triângulo ( 1 , 2 , 1 ) pode-se perceber que eles representam os coeficientes de a²  , a.b  e  b² , ou seja: 1.a² + 2.a.b + 1.b².

O mais interessante, ainda, é que através do Triângulo de Pascal pode-se desenvolver, além do produto notável ( a + b )² , outros produtos do tipo ( a + b )³ , ( a + b )⁴ e, assim por diante …

( a + b )³ = 1.a³ + 3.a².b + 3.a.b² + 1.b³  ( quarta linha )

( a + b )⁴ = 1.a⁴ + 4.a³.b + 6.a².b² + 4.a.b³ + 1.b⁴  ( quinta linha )

( a + b )⁵ = 1.a⁵ + 5.a⁴.b + 10.a³.b² + 10.a².b³ + 5.a.b⁴ + 1.b⁵  ( sexta linha )

A partir desse momento da leitura, cabe perguntar: como os termos foram obtidos nos desenvolvimentos acima,?

Simples:

·   em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é a.b ;

·   a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e os de b vão “crescendo”;

·   a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio;

·   o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero;

·   o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio;

·   a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio.

Vamos observar, por exemplo, o desenvolvimento de ( a + b )⁵

1.a⁵ + 5.a⁴.b + 10.a³.b² + 10.a².b³ + 5.a.b⁴ + 1.b⁵

Na verdade, o desenvolvimento desse binômio é:

1.a⁵ .b⁰ + 5.a⁴.b¹ + 10.a³.b² + 10.a².b³ + 5.a¹.b⁴ + 1.a⁰.b⁵

·   em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a⁰ = b⁰= 1, a¹= a , b¹= b)

·   expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0  (ordem decrescente)

·   expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5  (ordem crescente)

·   soma do expoentes de a e de b em cada monômio:5  (expoente do binômio)

·   a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1)

Agora, responda às perguntas:

a) Quais são as regras de construção do Triângulo de Pascal?

b) Quais são as linhas de número 7, 8 e 9 do Triângulo de Pascal?

c) Qual é o desenvolvimento do binômio ( a + b )⁶?